Johnson-Cook模型及其曲线拟合

 Johnson-Cook本构和失效模型是由Johnson和Cook在上个世纪80年代提出，被广泛应用于冲击与载荷领域。Johnson-Cook模型最大的特点是形式简单，且同时考虑了应变硬化，应变率强化，以及温度软化效应的影响。

Johnson-Cook塑性模型的数学表式如下：

其中，a是起始屈服应力，单位是压强。b是硬化常熟，单位是压强。n是无量纲的硬化系数。n的取值决定着材料的塑性流动方向和材料模型：（1）当n=1，材料为理想线弹性材料；（2）当n=0，材料为非线性弹性材料；（3）当0<n<1，材料为弹塑性材料。c 和 m 为无量纲的模型参数，分别关联应变率与热软化效应。T*=(T-Tr)/(Tm-Tr)为无量纲化温度，其中，Tr，Tm分别为参考温度和材料的熔点，T为当前温度。

参数a，b和n可以通过参考应变率和参考温度下光滑圆棒拉伸试验获得(当然，通过薄壁圆管的扭转试验也可以得到)。a，b和n通过拟合等效应力应变数据获得。

Johnson-Cook模型参数拟合

实际应用中，Johnson-Cook参数需要根据材料测试数据，通过参数拟合的方式得到。CurveFitter提供了Johnson-Cook塑性模型的曲线拟合公式，只需要输入塑性应变与应力值，即可以得到拟合的参数值。关于CurveFitter详情，参见《一款好用且免费的曲线拟合工具CurveFitter》与《曲线拟合的核心计算方法与CurveFitter的更新》二文。

操作方式如下：

1. 从左侧列表中选择Johnson-Cook曲线方程。

2. 右侧表格窗口导入 塑性应变-应力 曲线数据。导入后，可以看到曲线窗口显示对应曲线。

3. 点击主窗口中的“Solve”按钮。即可得到拟合的参数，对于本次给定的数据，得到a=475.1, b=787.2, 和n=0.763，拟合的误差几乎为0（R2=1）。同时曲线窗口显示了曲线与测试数据，两个曲线高度重合，表明参数拟合精度很高。输出窗口显示了曲线拟合求解器的计算细节。

值得注意的是，曲线拟合并没有考虑单位，在应用这些参数时，需要确定有限元软件的应力单位与测试数据的应力单位一致，这里测试数据使用的是MPa。这里忽略了应变率与温度数据，因此只计算了a，b，和n三个参数。

Johnson-Cook失效模型

除了塑性模型，Johnson-Cook也有对应的失效模型，同样考虑了应力，应变率，温度的影响。常用于可延展性金属。失效应变表达式如下：

其中：D1～D5是材料常数，D1～D3可以通过执行参考应变率和参考温度下不同应力三轴度实验来获得。应变率影响常数D4能通过参考温度下不同应变率拉伸试验获得，同样温度影响常数D5能通过参考应变率下不同温度拉伸试验获得。在D1～D3已知的前提下，拟合断裂应变-温度实验数据可以得到温度影响参数D5。

总结

Johnson-Cook是一种应用于金属结构的塑性与失效模型，由于形式描述简单，待求参数少，在工程上得到广泛的应用。对于手册上没有给定参数的材料，需要通过对测试数据参数拟合得到核心参数，CurveFitter可以快速精确的计算出参数，并用于后续的有限元分析中。

通用工程仿真CAE软件中的量纲与单位

 通用工程仿真CAE软件由于涵盖了不同的物理场与工程计算，会涉及到大量的量纲与单位。虽然求解器一般不用考虑量纲的单位，而前端GUI为了提升用户体验，会将量纲与单位模块作为一个开发重点。

业界经常将CAD与CAE软件的开发进行对比。量纲与单位可能是两者最大的区别之一。大型CAD软件一般只有长度和角度单位。而大型仿真CAE软件会涉及50种以上的量纲。加上每个量纲在都存在多种单位，综合起来CAE软件会涉及近千种单位。UnitConverter，MatEditor和WELSIM在多年以前就支持了各种复杂的单位制与单位，对于各种单位的转换也早已成熟，且计算精确。参见《一款终身免费的单位转换工具UnitConverter》一文。单位模块的开发量不仅巨大，同时单位模块的一点小问题，会导致计算结果的巨大偏差。是CAE软件研发中不可忽视的一个重要模块。

量纲与单位模块开发的难点在于，需要不同背景的开发人员协同工作。单位模块要求开发人员即懂各种工程物理量纲，又懂数值方法与大型软件的开发。这对产品经理与团队协作提出了较高的要求。本文在作者多年开发WELSIM的基础上，归纳了现代大型仿真CAE软件中常用到的量纲与单位。

单位制

量纲与单位数量众多，通过单位制将其归类是很好的方法。如下图所示，我们归纳了16种常见的单位制，每种单位制都会对量纲的单位有所规定。目前WELSIM套件，包含MatEditor与UnitConverter都已经支持了这16个单位制。

在这些单位制中，使用最频繁的单位制是

• SI (kg,m,s,C,A,N,V)
• Metric (g,cm,s,C,A,dyne,V)
• Metric (kg,mm,s,C,mA,N,mV)
• US Customary (lbm,in,s,F,A,lbf,V)
• US Customary (lbm,ft,s,F,A,lbf,V)

有些量纲在同一种单位制下可能会出现多个单位，如温度，角度，和角速度等。开发者需要将这些量纲的其他单位选项提供给用户，便于用户进行仿真分析。如下图所示，WELSIM为温度量纲提供了摄氏温度与绝对温度（对于华氏温度，用户可以使用US Customary单位制得到），为角度量纲提供了角度与弧度选项，为角速度提供了rad/s与RPM选项。使得不同背景的用户都可以使用想要的单位进行仿真分析。

当然还有一些使用频率相对较少的单位制，如电动力学中的Gaussian单位制。由于在工程中不常见，本文不赘述。

量纲与单位

工程仿真CAE软件由于涉及的量纲众多，我们按照分析类型将单位分为7大类：基本，常用，力学，热学，电学，磁学，流体。下面分别介绍每个类别下的常见单位。

基本单位

基本单位是所有单位的基础，决定了其他单位的形式，同时是单位换算中基本量。包括角度，电流，长度，质量，温度，时间。

常见单位

包含面积，体积，密度，比容，频率，能量，能量密度。

力学单位

包含压力，力，速度，加速度，角速度，角加速度，扭矩，质量惯性，动量，功率，硬度，断裂韧性。

热学单位

包含换热系数，热传导率，热扩散率，热通量，热功率，热功率密度，热容，热辐射系数，比热系数，比热系数密度，熵。

电学单位

包含电压，电荷，表面电荷密度，电荷密度，介电常数，电场强度，电场通量密度，电容，表面电流密度，导电率，电传导，电感系数。

磁学单位

包含磁导率， 磁场强度，磁通密度，磁势。

流体单位

包含动力粘度，运动粘度。

目前WELSIM套件，包含MatEditor与UnitConverter已经支持了包含以上54种量纲的单位。

总结

量纲与单位是工程仿真CAE软件的必备模块。由于其内容相对零散，在实际开发中常被开发者忽视。同时，量纲与单位模块对精确性有极高要求，单位转换中的一点小问题，会导致计算的完全错误，误差可以多达好几个数量级，因此需要有足够的单元测试保证准确性。同时从软件工程的角度，单位模块需要易于拓展和维护，在CAE软件迭代开发时，会随着不断增加的功能，添加新的量纲与单位。